ATIVIDADE DE RECUPERAÇÃO DO
2º BIMESTRE
ATIVIDADE 1
1º ano Ensino Médio DEF
Matemática
Após resolução no caderno, tirar foto, e enviar para:
professora: Edna
1º BIMESTRE
Razão e proporção
Exemplo:
2) Segundo uma reportagem, a razão entre o número total de alunos matriculados em um curso e o número de alunos não concluintes desse curso, nessa ordem, é de 9 para 7. A reportagem ainda indica que são 140 os alunos concluintes desse curso. Com base na reportagem, pode-se afirmar, corretamente, que o número total de alunos matriculados nesse curso é
(A) 180.
(B) 260.
(C) 490.
(D) 520.
(E) 630.
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EXERCÍCIOS
1) Uma criança ganhou um jogo com 30 cartas. Desse total, 1/5 tinha desenhos de flores, 1/3 tinha desenhos de figuras geométricas e as demais tinham desenhos de animais. O número de cartas com desenhos de animais é igual a
A) 20.
B) 18.
C) 16.
D) 14.
E) 12.
2)Determine o valor de x na proporção:
3)Calcule a razão entre os números:
a) 120:20
b) 345:15
c) 121:11
d) 2040:40
4)
5) Explique sua resposta com cálculos:
ATIVIDADE 2
Expressões numéricas
As expressões numéricas são conjuntos de números e operações matemáticas onde a ordem dessas operações é bem definida para que haja uma convenção a respeito de seu resultado. As operações envolvidas em expressões numéricas são as básicas da matemática: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Observe abaixo um exemplo de expressão numérica:
[(3·5 + 4) – (21·31)]·7
Expressões algébricas
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações. ... Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos valores atribuídos as letras.
Exemplos:
Adição: 3x + 2y + 3z
Subtração: 2x²y – 3y – 2z
Progressão aritmética
A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A. Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.
Exemplo
Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)
Solução
Primeiro, devemos identificar que a1 = 26, r = 31 - 26 = 5 e n = 10 (10º termo). Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:
an = a1 + (n - 1) . r(Fórmula do termo geral da progressão aritmética)
a10 = 26 + (10-1) . 5
a10 = 26 + 9 .5
a10 = 71
Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.
Progressão geométrica
Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.
Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...)
No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:
2 . 2 = 4
4 . 2 = 8
8 . 2 = 16
16 . 2 = 32
32 . 2 = 64
64 . 2 = 128
128 . 2 = 256
Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).
Fórmula do Termo Geral
Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:
Fórmula an = a1 . q(n-1)
Onde:
an: número que queremos obter
a1: o primeiro número da sequência
q(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1
Exemplo: Para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,...)
a20 = 2 . 2(20-1)
a20 = 2 . 219
a20 = 1048576
Exercícios PA e PG
1) Qual a Fórmula do Termo Geral da PA e PG?
2) Calcule o 17º termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5
3) Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15ª semana de tratamento?
4) Qual o vigésimo termo da sequência 7, 15, 23, 31, ...
5) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$5,00 e aumentar R$5,00 por mês, ou seja, depositar R$10,00 no segundo mês, R$15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de:
Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15ª semana de tratamento?
6) O vigésimo elemento da sucessão aritmética (12, 17, 22, 27, ...) é:
A) 95 B) 103 C) 113 D) 97 E) 107
8) Uma seqüência numérica orientada sob forma de multiplicação é composta por 6 elementos onde o primeiro destes é 5 e a sua razão é 4. Determine o último termo desta sequência
9) Determine o 12ª elemento de uma progressão geométrica onde o primeiro elemento é 1 e a razão é 2.
10) Determine o primeiro elemento de uma P.G. com 6 elementos onde a razão é 3 e o último termo 1 701.
11) Determine o primeiro elemento de uma P.G. com 8 elementos onde o último termo é 512 e a razão é 2.
12) Em uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas a cada hora. Determinar o número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa colônia depois de 15 horas.
13) Considere esta sequência de figuras. Na figura 1, há 1 triângulo. Na figura 2, o número de triângulos menores é 4. Na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e assim por diante. Prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos triângulos menores na figura 7?
14) Determine o 8º termo da P.G.(1, 2, 4,…)
15) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (2, 4, 8, 16,…)
16) Com base na seguinte progressão geométrica: {2; 4; 8; 16; 32; 64;… } qual o próximo valor da sequência?
ATIVIDADE 3
Razão e proporção
Leitura e assistir vídeo no final
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números. Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o mesmo resultado. Note que a razão está relacionada com a operação da divisão.
O conceito de razão está relacionado com o conceito de divisão. Dizemos que a razão entre os números A e B é o quociente A : B, ou seja, o resultado da divisão de A por B é chamado de razão. A representação de uma razão pode ser A : B, A/B, o próprio resultado ou o mais usual:
A
B
A é o numerador e B é o denominador. Como exemplo, a razão entre os números 20 e 5 pode ser escrita: 20:5, 20/5 ou
20
5
e tem como resultado o número 4. Logo, 4 é a razão entre 20 e 5.
Outro exemplo de razão é a porcentagem. Porcentagem é uma razão que tem o denominador igual a 100.
Proporção:
Quando duas razões têm o mesmo resultado, elas são chamadas de proporção. Portanto, tem-se uma proporção quando é observada a igualdade entre duas ou mais razões. Assim, se a razão entre A e B é igual à razão entre os números C e D, dizemos que a seguinte igualdade é uma proporção:
A = C
B D
Nesse caso, leia essa igualdade da seguinte maneira: A está para B assim como C está para D. É importante dizer ainda que A e D são chamados extremos das proporções e B e C são chamados meios.
Propriedades:
1 – Em toda proporção, o produto entre os extremos é igual ao produto entre os meios, ou seja, se
A = C
B D
Então
A·D = B·C
Essa é a técnica utilizada para o cálculo de proporções quando se tem apenas três dos números acima e é necessário descobrir o quarto. Por essa razão, esse cálculo é chamado de regra de três.
2 – Em toda proporção, é possível trocar os extremos de lugar. Dessa maneira, as igualdades a seguir são verdadeiras.
A = C
B D
D = C
B A
3 – Em toda proporção, é possível trocar os meios de lugar. Essa propriedade funciona exatamente como a anterior.
4 – Em toda proporção, é possível inverter as duas razões ou trocá-las de lugar. Portanto, as igualdades abaixo são verdadeiras e equivalentes.
A = C
B D
B = D
A C
D = B
C A
A imagem abaixo é resultado de proporções e de suas propriedades. Ela é feita a partir de uma curva, chamada proporção áurea. Os povos antigos acreditavam que qualquer imagem feita tendo como base a proporção áurea seria uma imagem perfeita. Por isso, essa curva acabou sendo utilizada como sinônimo de perfeição.
Representação geométrica de proporção utilizada como sinônimo de perfeição
Isso ocorre porque a construção da proporção áurea é feita com base em retângulos. A proporção em que essa curva “corta” cada retângulo é sempre a mesma.
Grandezas:
Grandeza é qualquer coisa que pode ser medida ou contada. Dizemos que duas grandezas são proporcionais quando duas razões entre elas, tomadas respeitando a mesma ordem, são iguais. Por exemplo: em uma fábrica, 6 funcionários produzem 70 sapatos por dia. Em dois dias, serão 140 sapatos produzidos, pois, dobrando o tempo de trabalho, dobra-se a produção. Dessa maneira, a razão de sapatos produzidos por dias trabalhados pode ser escrita:
70 = 140 = 70
1 2
Cálculos:
Com esse conhecimento, é possível descobrir um valor de duas grandezas proporcionais tendo apenas outros três valores em mãos. Por exemplo: em uma fábrica, 70 funcionários produzem 400 sapatos por hora. Quantos funcionários serão necessários para produzir 1600 sapatos por hora?
Escreva a proporção: 70 funcionários está para 400 sapatos assim como x funcionários está para 1600 sapatos. O número de funcionários necessários para a nova produção de sapatos é desconhecido e, por isso, representado pela letra x.
70 = x
400 1600
Lembre-se: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, portanto:
70·1600 = 400x
400x = 112000
x = 112000
400
x = 280
Serão necessários 280 funcionários para a produção de 1600 sapatos.
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